Плоскость. Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадлежащими одной прямой
Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве.
Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки:
· через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна (смотрите также статью уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку);
· через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (рекомендуем ознакомиться с материалом статьи уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые).
Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых. Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат.
Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
Признак параллельности двух плоскостей дает нам еще один способ задания плоскости. Вспомним формулировку этого признака: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, мы можем задать конкретную плоскость, если укажем точку, через которую она проходит и плоскость, которой она параллельна.
В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней.
Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать общее уравнение плоскости.
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:
Еще по теме Способы задания плоскости.:
- 13. Расстройства мышления: по темпу, строю, целенаправленности. Диагностическое значение симптомов.
- Основные направления в исследовании нарушений мышления при шизофрении.
- Классификация нарушений мышления в работах Б.В. Зейгарник.
- 8. Анализ специфики методов специальной психологии по сравнению с методами других отраслей психологии: использование стандартизированных техник (тестов), использование анкетирования, метода анализа продуктов деятельности.
- 14. Методика изучения площади геометрических фигур и формирование навыков её измерения. Ознакомление с единицами измерения площади и их соотношением. Особенности восприятия младшего школьника. Учет закономерностей и принципов воспитания при изучении площади геометрических фигур.
Способы задания плоскости, определяющие однозначно положение плоскости в пространстве (см. рис. 16):
а) три точки, не лежащие на одной прямой;
б) прямая и точка вне прямой;
с) параллельные прямые;
d) пересекающиеся прямые.
е) плоская фигура;
На эпюре плоскость задается проекциями перечисленных геометрических элементов и следами. Эти элементы носят название определителя плоскости (∆).
Плоскость в пространстве может быть задана следами (см. рис. 17). Следом плоскости называют линию пересечения данной плоскости с плоскостью проекций. В системе трех плоскостей проекций плоскость общего положения p (не перпендикулярная и не параллельная плоскостям проекций) может иметь три следа – горизонтальный (р 1 ), фронтальный (р 2 ), профильный (р 3 ); Рх, Ру,Рz - точки схода следов (рис. 17)
3.2. Плоскости частного положения.
К плоскостям частного положения относятся:
Проецирующие плоскости, т.е. плоскости, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций (рис. 18);
Плоскости уровня – плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций (рис. 19).
3.3. Проецирующие плоскости
Особенности проецирующих плоскостей:
1. Одна проекция любого элемента, расположенного в проецирующей плоскости, совпадает с соответствующим следом этой плоскости;
2. На эпюре угол наклона заданной плоскости к плоскости проекций проецируется в истинную величину (рис. 18).
3.4. Плоскости уровня
Особенностью плоскостей уровня является то, что любая плоская фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на параллельную ей плоскость без искажения, т.е. в истинную величину (рис. 19).
Для построения элементов, находящихся в плоскости общего положения, нужно руководствоваться двумя правилами:
Прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в плоскости или если она проходит через точку, лежащую в плоскости и параллельно другой прямой, расположенной в этой плоскости (рис. 20);
Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой, расположенной в этой плоскости (рис. 21).
3.6. Главные линии плоскости.
Горизонталь (h ) - прямая лежащая в плоскости и одновременно расположенная параллельно плоскости П 1 (рис 22). Фронталь (f ) - прямая лежащая в плоскости и параллельная плоскости П 2 . Линия наибольшего наклона - это прямая лежащая в плоскости и перпендикулярная или горизонталям или фронталям плоскости. С помощью линии наибольшего наклона определяется угол наклона плоскости к плоскостям проекций. Линия наибольшего наклона расположенная перпендикулярно горизонталям плоскости называется еще линией ската плоскости (ВК рис 22).
С помощью линии ската определяется угол наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций. Для этого необходимо способом прямоугольного треугольника определить ее натуральную величину и угол между натуральной величиной и горизонтальной проекцией будет искомый угол.
3.7. Вопросы для самопроверки.
Перечислите и изобразите графические способы задания плоскости на комплексном чертеже.
Что понимают под следом плоскости?
Какую плоскость называют проецирующей и каковы ее графические признаки на чертеже?
Дайте графические характеристики плоскостям: горизонтально - проецирующей, фронтально – проецирующей, профильно – проецирующей.
Какую плоскость называют плоскостью уровня?
Какую плоскость называют горизонтальной? Фронтальной? Профильной? Изобразите их на чертеже.
Назовите признаки принадлежности прямой плоскости, точки плоскости.
Покажите на чертеже, как можно прямую заключить в плоскость.
Назовите главные линии плоскости.
Как определить угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций?
Положение плоскости в пространстве определяется тремя ее точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому чтобы задать на эпюре плоскость, достаточно задать три ее точки (рис. 206). Плоскость можно задать точкой и прямой (рис. 207, а), двумя параллельными прямыми (рис. 207, б), двумя пересекающимися прямыми (рис. 207, в), треугольником (рис. 207, г).
Можно задать плоскость следами. Следом плоскости называют прямую, по которой данная плоскость пересекает плоскость проекций. На рис. 208 Pv - фронтальный след плоскости Р, Рн - горизонтальный след плоскости Р, Pw - профильный след плоскости Р.
Различные случаи расположения плоскостей относительно плоскостей проекций
Плоскость общего положения - плоскость, расположенная наклонно ко всем плоскостям проекций (рис. 208). Такая плоскость пересекается с тремя плоскостями проекций по прямым, которые являются следами этой плоскости. Каждая пара следов сходится в точке, которая называется точкой схода следов плоскости и располагается на оси проекций. Плоскость общего положения имеет три точки схода, которые обозначаются Рх, Ру, Рz. В этих точках плоскость пересекает оси координат. Плоские фигуры, лежащие в плоскости общего положения, проецируются проекций с искажением.
Проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций.
Горизонтально - проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 209).
Фронтально - проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекции (рис. 210).
Профильно-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис. 211).
Проецирующая плоскость проецируется на плоскость проекций, к которой она перпендикулярна, в прямую. Па рис. 209 плоскость Р горизонтально-проецирующая, ΔАВС, лежащий в плоскости Р, проецируется в отрезок прямой линии, который совпадает со следом плоскости Рн. На рис. 210 ΔDEF, принадлежащий фронтально-проецирующей плоскости R, проецируется в отрезок, совпадающий со следом плоскости Rv. На рис. 211 ΔKMN, лежащий в профильно-проецирующей плоскости Q, проецируется на плоскость W в отрезок, совпадающий со следом плоскости Qw. Поэтому проецирующие плоскости часто используются в качестве вспомогательных при различных построениях. Например, чтобы через прямую AB провести горизонтально-проецирующую плоскость (рис. 212), достаточно через горизонтальную проекцию прямой ab провести горизонтальный след этой плоскости, так как все, что в этой плоскости лежит, в том числе и прямая AB, проецируется на ее горизонтальный след. Фронтальный след фронтально-проецирующей плоскости совпадает с фронтальной проекцией прямой a"b" (рис. 213). Следы проецирующих плоскостей на других плоскостях проекций перпендикулярны соответствующим осям проекций (см. рис. 209, 210, 211).
Рис. 212 Рис. 213
Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, параллельны третьей плоскости проекций . Геометрические фигуры, лежащие в этих плоскостях, проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которой параллельна данная плоскость (рис. 214, 215; 216). Называются такие плоскости так же, как и плоскость проекций, параллельно которой они расположены: горизонтальная плоскость (рис. 214), фронтальная плоскость (рис. 215), профильная плоскость (рис. 216).
Введение
Из курса планиметрии мы знаем, что плоскость - это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямы.
Пространство - это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей. Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов. Понятия «точка», «прямая» и «плоскость» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах. С другой стороны, понятия «точка», «прямая», «плоскость» имеют наглядный смысл, отраженный на чертежах и рисунках.
Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом планиметрии и рассмотреть новую группу аксиом, в которых выражены свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, что особенно важно для нас, в пространстве.
Цель реферата - получить наглядное представление о пространстве и способах расположения плоскостей в пространстве.
Для выполнения этой цели поставлены следующие задачи:
- - рассмотреть способы задания плоскостей в пространстве,
- - рассмотреть основные аксиомы стереометрии;
- - изучить возможные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве,
- - сформулировать основные признаки и свойства взаимного расположения плоскостей в пространстве;
Способы задания плоскости
Изучение пространства приводит к необходимости расширить систему аксиом.
Рассмотрим аксиому R1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Эта аксиома дает нам право рассматривать в любой плоскости пространства отрезки, прямые со всеми их свойствами, которые изучались в планиметрии. Например, если прямая а и не принадлежащая ей точка М лежат в некоторой плоскости б, то в этой плоскости можно провести через точку М прямую, параллельную прямой а, и притом только одну.
В аксиоме R3 говорится: какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Данной аксиомой утверждается, что для любой плоскости в пространстве можно выбрать любое количество точек в этой плоскости, равно как и сколько угодно точек вне её. В случае, если точка А л7+ежит в (принадлежит) плоскости б, то записывают: А б и говорят, что плоскость б проходит через точку А. Если точка А не принадлежит плоскости б, то записывают: А б и говорят, что плоскость б не проходит через точку А.
Плоскость в пространстве однозначно определяется:
Тремя точками, не лежащими на прямой. Аксиома R2 (аксиома плоскости) гласит: Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Плоскость, которая проходит через точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой (С АВ), обозначается символически (АВС); если этой плоскостью является плоскость б, то пишут б = (АВС) или (АВС)= б. Стол, имеющий три ножки, не может качаться на плоском полу. Его устойчивость объясняется тем, что концы трех его ножек (три точки) принадлежат одной плоскости - плоскости пола, но не принадлежат одной прямой. Плохо сделанный стол на четырех ножках качается на плоском полу, и под одну из его ножек что-нибудь стараются подложить.
Прямой и точкой, не лежащей на прямой.
По теореме 1 через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.
Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости
Теорема 3. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.
Положение плоскости в пространстве может быть определено на чертеже одним из следующих способов:
1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 35 ).
2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой (рис. 36 ).
3. Двумя пересекающимися прямыми (рис. 37) .
4. Двумя параллельными прямыми (рис. 38 ).
5. Плоской фигурой (рис. 39 ).
6. Следами (рис. 40, 41 ).
7. Параметрами плоскости.
Следы плоскости
Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. След плоскости обозначается той же буквой, что и плоскость с подстрочным знаком, соответствующим имени плоскости проекций, с которой пересекается данная. Если плоскость (назовем ее P ) не параллельна, какой-либо плоскости проекций, то она пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа – горизонтальный P H , фронтальный P V и профильный P W (рис. 40, 41 ). Как и любая прямая, любой след плоскости имеет три проекции, но, для облегчения чтения эпюра, принято обозначать только ту проекцию следа, которая не совпадает с осью проекций. Положение любого следа плоскости, как и любой прямой, определяется положением двух ее точек. Для следов плоскости такими точками могут являться точки, называемые точками схода следов , то есть точки, в которых плоскость пересекает оси координат – P x , P y , P z . Численные значения координат x , y , и z точек схода следов называются параметрами плоскости .