พื้นผิวตามรูปแบบบัญญัติ
การจัดเรียงเส้นโค้งของลำดับที่สอง
พิจารณาสมการลำดับที่สองทั่วไป (11.5):
และหารูปเรขาคณิตบนเครื่องบินสามารถระบุได้จากสมการนี้
1. ถ้าค่าความเป็นตัวตนของเมทริกซ์ A λ 1 และ λ 2 ของเครื่องหมายเดียวกันสมการ (11.5) เรียกว่าสมการ รูปไข่. สามารถลดรูปแบบ (11.7): ซึ่งในทางกลับกันจะเปลี่ยนเป็นรูปแบบดังต่อไปนี้:
ก) ถ้ามีเครื่องหมายเดียวกับ λ 1.2, หารด้วย
สมการบัญญัติ วงรี
b) ถ้า = 0 สมการ มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ: กำหนด จุดบนเครื่องบิน.
c) ถ้าเครื่องหมายอยู่ตรงข้ามกับป้าย λ 1,2 สมการหลังจากหารด้วยจะกลายเป็น:
. ชุดของโซลูชันว่างเปล่า (บางครั้งชุดที่ว่างเปล่านี้เรียกว่า วงรีจินตภาพ).
2. ถ้าค่าความเป็นตัวตนของเมทริกซ์ A λ 1 และ λ 2 สัญญาณที่แตกต่างกันสมการ (11.5) เรียกว่าสมการ ประเภทผ่อนชำระ.
a) เมื่อลดลงเป็นหนึ่งในสองประเภท:
หรือ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย ทั้งสองสมการเหล่านี้กำหนด อติพจน์.
b) สำหรับ = 0 เราได้สมการเท่ากับสองสมการเชิงเส้น: u, ให้ คู่ของเส้นตัดกัน.
3. ถ้าค่าความเป็นตัวเดียวคือ 0 สมการ (11.5) เรียกว่าสมการ เป็นรูปโค้งtype และสามารถลดให้เป็นหนึ่งในประเภทต่อไปนี้:
a) ถึงสมการ (11.8):, การกำหนด รูปโค้ง;
b) สมการหรือ คู่ของเส้นตรง;
c) สมการกำหนด หนึ่งเส้นตรง (หรือคู่ของเส้นบังเอิญ);
d) สมการที่ไม่ได้แก้ปัญหาและไม่ได้กำหนดรูปทรงเรขาคณิตใด ๆ
คำจำกัดความ 12.1.พื้นผิวของลำดับที่สอง คือชุดของจุดสามมิติที่มีพิกัดคาร์ทีเซียนตอบสนองสมการของรูปแบบ:
สมการขององศาที่สองจากสาม unknowns ที่เรียกว่า สมการพื้นผิวทั่วไปของลำดับที่สอง.
ถ้าเราหาค่า eigenvalue และ eigenvectors ที่เป็น normalised ของเมทริกซ์แบบมีกำลังสองและไปยังระบบพิกัดที่กำหนดโดยพื้นฐานของ orthonormal eigenvectors สมการ (12.1) จะลดลงเป็นหนึ่งในประเภทดังต่อไปนี้:
1. ถ้าต้องการ λ 1 , λ 2 , λ 3 - ของเครื่องหมายเดียวกันสมการ (12.1) เป็นสมการของรูปไข่และจะลดลงในรูปแบบตามรูปแบบบัญญัติ:
ก) - (12.2)
สมการบัญญัติ ทรงรี.
ถ้าสองค่าที่เป็นของตัวเองเกิดขึ้นเป็นรูปวงรีเรียกว่า elipsoid of revolution และเป็นพื้นผิวที่ได้รับจากการหมุนวงรีรอบแกนใดแกนหนึ่งของมัน ถ้าค่าความเป็นตัวตนทั้งหมดเท่ากันสมการ (12.2) จะกลายเป็นสมการของทรงกลม
ข) - (12.3)
สมการระบุ จุดในอวกาศ;
c) - (12.4)
ชุดเปล่า
2. ถ้าค่าความเป็นตัวของตัวเองมีค่าแตกต่างกันให้สมการ (12.1) ลดลงเป็นรูปแบบตามรูปแบบบัญญัติ:
ก) คือสมการบัญญัติ hyperboloid หนึ่งแผ่น, (12.5)
ข) - (12.6)
สมการบัญญัติ hyperboloid ของสองแผ่น,
c) - (12.7)
ดาวน์โหลดจาก Depositfiles
เลขที่ 12 หัวข้อที่ 6: พื้นผิว
6.1 สมการพื้นผิว
ในทำนองเดียวกันกรณีของเส้นในระนาบสมการพื้นผิวเป็นสมการที่มีตัวแปรสามตัวแปรซึ่งเป็นที่พอใจโดยพิกัดของจุดใด ๆ ของพื้นผิวและไม่สอดคล้องกับพิกัดของจุดอื่นที่ไม่ได้อยู่บนพื้นผิว การสนทนายังเป็นจริงสมการแต่ละรูปแบบ
, (1)
พูดโดยทั่วไปกำหนดพื้นผิวบางอย่างในอวกาศ ถ้าสมการ (1) ไม่พอใจโดยพิกัดของจุดใด ๆ แล้วมันก็บอกว่ามันกำหนดผิวจินตนาการ ในอนาคตกรณีดังกล่าวจะไม่ได้รับการพิจารณา
ตัวอย่างที่ 1 เขียนสมการของทรงกลมที่มีรัศมีR
ตรงกลางตรงจุด
.
ให้
จุดปัจจุบันของทรงกลมแล้วสำหรับเวกเตอร์
มีพิกัดเงื่อนไข
ซึ่งเป็นสมการที่ต้องการของทรงกลม
P พิจารณาหนึ่งในกรณีที่พบบ่อยที่สุด -การหมุนผิวหน้า . ยกตัวอย่างเช่นในระนาบO yZ z
บางบรรทัดจะได้รับสมการที่M 1
. เราหาสมการของผิว,M
ได้โดยการหมุนเส้นรอบนี้
แกน O z . ยังไม่มีข้อความ
เราใช้เวลาโดยพลการO ที่
พื้นผิวนี้และวาดเครื่องบิน,
ตั้งฉากกับแกนO y . เป็นที่ชัดเจนว่า x
ในส่วนที่เราได้รับวงกลมที่มีศูนย์กลาง
ที่จุด ยังไม่มีข้อความ
. แล้วก็
. ในทางกลับกันรัศมีของวงกลมนี้
, จุดที่M 1
เป็นของบรรทัด.
ดังนั้นทุกจุดของผิวของการปฏิวัติสมการ
ในทำนองเดียวกันก็เป็นไปได้ที่จะได้สมการของพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกี่ยวกับแกนพิกัดอื่น ๆ
ตัวอย่างที่ 2 หาสมการของผิวที่เกิดจากการหมุนของวงรี
ในเครื่องบินO เซ็กซี่ รอบแกน O x
.
ในกรณีนี้จำเป็นต้องเปลี่ยน
ในสมการของวงรี จากนั้นเราจะได้สมการ
ซึ่งเป็นตัวกำหนดพื้นผิวของสิ่งที่เรียกว่าelipsoid ของการปฏิวัติ.
6.2 พื้นผิวของลำดับที่สอง
สมมติว่าในบาง DSC พื้นผิวที่กำหนดโดยสมการขององศาที่สองจะได้รับ
ที่สัมประสิทธิ์
ในเวลาเดียวกันจะไม่เท่ากับศูนย์ พื้นผิวนี้เรียกว่าพื้นผิวที่สอง
เราพิจารณากรณีพิเศษของสมการ (2):
1. Ellipsoid . สมการบัญญัติของมัน
.
เพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับผิวหน้านี้ให้วาดส่วนที่มีระนาบขนานกับระนาบประสานงาน เราสังเกตว่าสมการของ elipsoid ไม่เปลี่ยนเมื่อเปลี่ยนซึ่งหมายความว่าพื้นผิวนี้เป็นสมมาตรในแง่ของการประสานงานของเครื่องบิน ตัวอย่างเช่นโดยการตัดกันเป็นรูปวงรีกับเครื่องบิน
เราได้รับรูปวงรี
ด้วย semiaxes
. ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่าวงรีที่ใหญ่ที่สุดจะได้รับในส่วนตัดขวาง
แต่มีการเพิ่มขึ้นชั่วโมง
วงกลมลดลง degenerating ถึงจุดเมื่อ
. ภาพที่คล้ายกันจะอยู่ในส่วนตัดขวางโดยเครื่องบิน บนพื้นฐานของการศึกษาดังกล่าวเป็นไปได้ที่จะกำหนดรูปทรงของ elipsoid
z
ค
และ
ข ข y
และ
x ค
คุณยังสามารถได้รับลักษณะของพื้นผิวต่อไปนี้:
2. hyperboloid ของแผ่นเดียว z
y
x
3. hyperboloid สองแผ่น
z
y
x
4. พาราโบลา Elliptic
.
z
x y
5.
พาราโบลาพาราโบลาเลต
.
z
x
y
6. กรวย
z
y
x
7.
กระบอกรูปไข่
z
y
x
8.
Hyperbolic Cylinder
9. กระบอกสูบพาราโบลา z
.
y
x
10. คู่ของเครื่องบินที่ตัดกัน .
ตัวแปรอื่น ๆ ในการจัดเรียงเส้นตรงกับ hyperboloid แบบแผ่นเดียวคืออะไร?
พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของเส้นระนาบบางส่วนเกี่ยวกับแกนที่อยู่ในระนาบของมันเรียกว่าพื้นผิวของการปฏิวัติ ปล่อยให้บางเส้นโค้ง L อยู่ในระนาบ Oyz สมการของเส้นโค้งนี้จะเขียนเป็น:
ลองหาสมการของผิวที่เกิดขึ้นจากการหมุนของเส้นโค้ง L รอบแกน Oz
เราใช้จุด
M (x; y; z) เราวาดผ่านจุด
M ระนาบตั้งฉากกับ
แกนออนซ์และแสดงจุด
ข้ามกับแกนออนซ์
และเส้นโค้ง L, ตามลำดับ, O 1 และ N.
แสดงพิกัดของจุด
N (0; y 1; z 1). กลุ่ม O 1 M และ O 1 N
เป็นรัศมีของวงกลมเดียวกัน ดังนั้น O 1 M = O 1 N. แต่ O 1 M = (x 2 + y 2) 0.5, O 1 N = | y 1 |.
ดังนั้น | y 1 | = (x 2 + y 2) 0.5 หรือ y 1 = ± (x 2 + y 2) 0.5 นอกจากนี้ยังเห็นได้ชัดว่า z 1 = z
ดังนั้นสมการที่ต้องการของพื้นผิวของการปฏิวัติจะพอใจโดยพิกัดของจุด M ใด ๆ ของพื้นผิวนี้และไม่สอดคล้องกับพิกัดของจุดที่ไม่ได้อยู่บนพื้นผิวของการปฏิวัติ
27. พื้นผิวของลำดับที่สอง Ellipsoid, Hyperboloid
ทรงรี
พิจารณาส่วนของผิวที่มีระนาบขนานกับ xOy สมการของเครื่องบินดังกล่าว z = h, โดย h คือจำนวนใด ๆ บรรทัดที่ได้รับในส่วนนี้จะถูกกำหนดโดยสมการสอง:
ถ้า | h |\u003e c, c\u003e 0 จะไม่มีจุดตัดกันของพื้นผิวด้วยเครื่องบิน z = h
ถ้า | h | = c, ie h = ± c แล้ว เส้นตัดแบ่งเป็นสองจุด (0; 0; c) และ (0; 0; -c) เครื่องบิน z = c และ z = -c สัมผัสพื้นผิว
ถ้า | h |
เส้นตัดเป็นรูปวงรีที่มี semiaxes
ทรงรี - พื้นผิววงรีปิดที่ a, b, c - semiaxes ถ้ามีทั้งหมดแตกต่างจากนั้นเรียกว่า elipsoid สามแกน. ถ้าสอง semiaxes ใดมีค่าเท่ากันร่างกายจะเรียกว่า elipsoid of revolution ถ้า a = b = c แล้วร่างกายเรียกว่าทรงกลม x 2 + y 2 + z 2 = R 2
hyperboloid หนึ่งโพรง
ข้ามพื้นผิวโดยเครื่องบิน z = h เราได้รับเส้นตัดซึ่งสมการมีรูปแบบ
กึ่งแกนถึงค่าต่ำสุดของพวกเขาที่ h = 0, a = a, b 1 = b ด้วยการเพิ่ม | h | semiaxes จะเพิ่มขึ้น
ถ้าเราตัดพื้นผิวโดยเครื่องบิน x = h หรือ y = h แล้วในส่วนที่เราได้รับ hyperbolas ลองหาเส้นตัดกันของผิวกับเครื่องบิน Oyx ซึ่งสมการ x = 0 บรรทัดแยกนี้อธิบายโดยสมการ:
พื้นผิวมีรูปแบบของหลอดขยายตัวและเรียกว่า hyperboloid ของแผ่นเดียว.
hyperboloid สองช่อง
ถ้าผิวหน้าตัดกันโดยเครื่องบิน z = h แล้วแยกตามสมการ
ถ้า | h | ถ้า | h | = c แล้วเครื่องบิน h = ± c สัมผัสพื้นผิวที่กำหนดที่จุด (0; 0; c) และ (0; 0; c) ตามลำดับ ถ้า | h |\u003e c แล้วสมการจะถูกเขียนใหม่ในรูป: สมการเหล่านี้กำหนดวงรีที่มีเซมิคส์เพิ่มขึ้นเมื่อเพิ่ม | h | สำหรับ hyperbolas ทั้งสองแกนที่แท้จริงคือแกนออนซ์ วิธีการตัดขวางช่วยให้เราสามารถวาดภาพพื้นผิวที่ประกอบด้วยสองช่องว่างที่มีรูปร่างของสองถ้วยไม่ จำกัด พื้นผิวเรียกว่า hyperboloid สองแผ่น. รูปไข่ เมื่อพื้นผิวปริภูมิเครื่องบิน Oxz และ Oyz จะได้รับพาราโบลาและตามลำดับ ดังนั้นพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการมีรูปแบบของนูน, ชามขยายอนันต์ ซึ่งเกินความจริง เราจะตัดผิวโดยเครื่องบิน z = h เราได้เส้นโค้ง ซึ่งทั้งหมด h ≠ 0 เป็น hyperbola สำหรับ h\u003e 0 แกนจริงของมันจะขนานไปกับแกน Ox โดยมี h<0
– параллельные оси Oy.
При h=0
линия пересечения распадается на пару
пересекающихся прямых: เมื่อเครื่องบินปริภูมิระนาบขนานไปกับเครื่องบิน Oxz (y = h) พาราโบลาจะปรากฏขึ้นกิ่งก้านจะขึ้นไป28. พื้นผิวของลำดับที่สอง paraboloids