สมการของพื้นผิวและเส้นในอวกาศ - นามธรรม
สมการของเส้นในเครื่องบินได้รับการศึกษาในโรงเรียน ในอวกาศเราจะใช้สมการของพื้นผิวและเส้น ให้เราระบุตอนนี้ว่าสมการของผิวคืออะไร
นิยาม 11.1 สมมุติว่ามีระบบพิกัดและพื้นผิวบางส่วนอยู่ในอวกาศ เราบอกว่าสมการที่เชื่อมต่อกันสามตัวแปรคือ สมการพื้นผิว ในระบบพิกัดที่กำหนดถ้าพิกัดของจุดใด ๆ ของพื้นผิวตอบสนองสมการนี้และพิกัดของจุดใด ๆ ที่ไม่ได้อยู่บนพื้นผิวไม่เป็นไปตามสมการนี้
แทนคำว่า "พิกัดของจุดตอบสนองสมการ" บางครั้งเราพูดว่า "จุดสมการ"
ถ้าเราเปลี่ยนระบบพิกัดแล้วตามกฎแล้วสมการพื้นผิวก็เปลี่ยนแปลงไปเช่นกัน
ถ้าสมการค่อนข้างซับซ้อนแล้วจุดที่น่าพอใจสามารถสร้างรูปแบบไม่เพียง แต่พื้นผิว แต่ยังชุดอื่น ๆ เช่นเส้นจุดเดียวคู่ของเส้น มีสมการที่ไม่พอใจตามจุดใด ๆ ตัวอย่างเช่นไม่มีจุดที่มีพิกัดสมการ .
นิยามกล่าวว่าสมการควรผูกตัวแปรสามตัว แต่จากบันทึกสมการนั้นไม่สามารถกำหนดจำนวนตัวแปรที่เชื่อมต่อได้ ยกตัวอย่างเช่นสมการนี้ถือได้ว่าเป็นสมการของเส้นตรงบนระนาบ แต่ก็เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการเดียวกันในรูปแบบ , แล้วมันจะกำหนดพื้นผิวในอวกาศ (เครื่องบินตามที่จะเป็นที่รู้จักในภายหลัง) ดังนั้นนอกเหนือไปจากสมการเองข้อมูลต้องได้รับเกี่ยวกับพื้นที่ของมิติที่ชุดของจุดที่กำหนดโดยสมการนี้อยู่ในอวกาศ
พื้นผิวเดียวกันสามารถระบุได้ด้วยสมการที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นถ้ามีค่าเป็นศูนย์ในสมการของพื้นผิวทางด้านขวามือ: , แล้วทั้งสองด้านของสมการสามารถยกกำลังสองและได้รับ . สมการใหม่จะเป็นสมการของผิวเดียวกันแม้ว่าจะมีลักษณะแตกต่างกัน ธรรมชาติเมื่อพูดถึงสมการของพื้นผิวแล้วจากสมการทั้งหมดของผิวนี้เราจะพยายามเลือก "สมการง่ายๆของระนาบ"
คำนิยาม. เครื่องบิน - มีพื้นผิวที่ประกอบด้วยเส้นตรงทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดใด ๆ
สมการของเส้นในเครื่องบินได้รับการศึกษาในโรงเรียน ในอวกาศเราจะใช้สมการของพื้นผิวและเส้น ให้เราระบุตอนนี้ว่าสมการของผิวคืออะไร
คำนิยาม11 . 1 สมมุติว่ามีระบบพิกัดและพื้นผิวบางส่วนอยู่ในอวกาศ เราบอกว่าสมการที่เชื่อมต่อกันสามตัวแปรคือ สมการพื้นผิว ในระบบพิกัดที่กำหนดถ้าพิกัดของจุดใด ๆ ของพื้นผิวตอบสนองสมการนี้และพิกัดของจุดใด ๆ ที่ไม่ได้อยู่บนพื้นผิวไม่เป็นไปตามสมการนี้
แทนคำว่า "พิกัดของจุดตอบสนองสมการ" บางครั้งเราพูดว่า "จุดสมการ"
ถ้าเราเปลี่ยนระบบพิกัดแล้วตามกฎแล้วสมการพื้นผิวก็เปลี่ยนแปลงไปเช่นกัน
ถ้าสมการค่อนข้างซับซ้อนแล้วจุดที่น่าพอใจสามารถสร้างรูปแบบไม่เพียง แต่พื้นผิว แต่ยังชุดอื่น ๆ เช่นเส้นจุดเดียวคู่ของเส้น มีสมการที่ไม่พอใจตามจุดใด ๆ ตัวอย่างเช่นไม่มีจุดที่มีพิกัดสมการ .
นิยามกล่าวว่าสมการควรผูกตัวแปรสามตัว แต่จากบันทึกสมการนั้นไม่สามารถกำหนดจำนวนตัวแปรที่เชื่อมต่อได้ ยกตัวอย่างเช่นสมการจะถือเป็นสมการของเส้นตรงบนระนาบ แต่ก็เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการเดียวกันในรูปแบบ , และจะกำหนดพื้นผิวในอวกาศ (เครื่องบินตามที่จะทราบภายหลัง) ดังนั้นนอกเหนือไปจากสมการเองข้อมูลต้องได้รับเกี่ยวกับพื้นที่ของมิติที่ชุดของจุดที่กำหนดโดยสมการนี้อยู่ในอวกาศ
พื้นผิวเดียวกันสามารถระบุได้ด้วยสมการที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นถ้ามีค่าเป็นศูนย์ในสมการของพื้นผิวทางด้านขวามือ: , แล้วทั้งสองด้านของสมการสามารถยกกำลังสองและได้รับ . สมการใหม่จะเป็นสมการของผิวเดียวกันแม้ว่าจะมีลักษณะแตกต่างกัน ธรรมชาติเมื่อพูดคุยเกี่ยวกับพื้นผิวของสมการแล้วสมการทั้งหมดของพื้นผิวที่พยายามที่จะเลือกมากที่สุด "สมการง่ายของเครื่องบิน
คำนิยาม. เครื่องบิน - มีพื้นผิวที่ประกอบด้วยเส้นตรงทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดใด ๆ
สมการทั่วไปของเครื่องบิน
สามารถตั้งค่าระนาบใดก็ได้ สมการของเครื่องบิน ระดับแรกของแบบฟอร์ม
A x + B y + C z + D = 0
โดยที่ A, B และ C ไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้พร้อมกัน
สมการของเครื่องบินในกลุ่ม
ถ้าเครื่องบินปริภูมิแกน OX, OY และ OZ ที่จุดที่มีพิกัด
(0, 0), (0, b, 0) และ (0, 0, c) จากนั้นก็สามารถพบได้โดยใช้สูตร สมการของเครื่องบินในกลุ่ม
สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดนั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ปกติ
ในการเขียนสมการของระนาบให้ทราบพิกัดของจุดระนาบ M (
x 0, y 0, z 0) และเวกเตอร์ธรรมดาของเครื่องบิน n = (A; B; C) สามารถใช้สูตรต่อไปนี้ได้
A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) = 0
สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุดไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว
หากได้รับพิกัดของสามจุด A (x 1, y 1, Z 1), B (x 2, y 2, Z 2) และ C (x 3, y 3, Z 3) นอนอยู่ในเครื่องบินสมการของเครื่องบินที่สามารถพบได้ โดยใช้สูตรดังต่อไปนี้
pryamoїRіvnyannyaในprostorі (zagalne rіvnyannya, kanonіchnіที่parametrichnіrіvnyannya) รับโทรศัพท์їh Rіvnyannyaตรงшоผ่านสองจุด
คำนิยามทุกบรรทัดในระนาบสามารถกำหนดได้จากสมการของลำดับแรก
Ax + Boo + C = 0,
โดยที่ค่าคงที่ A, B ไม่เป็นศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการอันดับแรกนี้เรียกว่า สมการทั่วไปของเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, B และ C กรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:
C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - เส้นตรงผ่านต้นกำเนิด
A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (โดย + C = 0) เป็นเส้นตรงขนานกับแกน Ox
B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) เป็นเส้นตรงขนานกับแกน Oy
B = C = 0, A ≠ 0 - เส้นตรงกับแกน Oy
A = C = 0, B ≠ 0 - เส้นตรงกับแกน Ox
สมการของเส้นตรงสามารถแสดงในรูปแบบต่างๆขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
สมการของพื้นผิวและเส้นในอวกาศ
แนวคิดพื้นฐาน
พื้นผิวและสมการของมัน
พื้นผิวในอวกาศเป็นกฎที่สามารถถือได้ว่าเป็นจุดทางเรขาคณิตของจุดที่ตอบสนองต่อสภาวะบางอย่าง ตัวอย่างเช่นทรงกลมรัศมี R ตรงกลางตรงจุด โอ้1 เป็นตัวทางเรขาคณิตของทุกจุดของพื้นที่ที่มาจากจุด O1 ที่ระยะทางอาร์
ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า โอ้xyz ในพื้นที่ช่วยให้เราสามารถสร้างการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดสัมผัสกับสามเท่าของตัวเลข x, y และ z - พิกัดของพวกเขา สมบัติร่วมกับทุกจุดของพื้นผิวสามารถเขียนในรูปแบบของสมการที่เชื่อมต่อพิกัดของทุกจุดของพื้นผิว
สมการของพื้นผิวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า โอ้xyz สมการนี้เรียกว่า F(x, y, z)=0 มีสามตัวแปร x, y และ zซึ่งเป็นที่พอใจโดยพิกัดของแต่ละจุดที่วางอยู่บนพื้นผิวและไม่เป็นที่พอใจของพิกัดจุดที่ไม่ได้อยู่บนพื้นผิวนี้
สมการของพื้นผิวช่วยให้การศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตของพื้นผิวที่จะถูกแทนที่ด้วยการตรวจสอบสมการของมัน ดังนั้นเพื่อที่จะหาว่าจุดที่อยู่ M1 (x1 ; y1 ; z1 ) บนพื้นผิวที่กำหนดก็พอเพียงที่จะทดแทนพิกัดของจุด M1 ในสมการของผิวแทนตัวแปร: ถ้าพิกัดเหล่านี้ตอบสนองสมการแล้วจุดอยู่บนพื้นผิวถ้าไม่พอใจ - ไม่โกหก
สมการของทรงกลม
ลองหาสมการของทรงกลมรัศมี R c ณ จุด โอ้1 (x0 ; y0 ; z0 ) . ตามความหมายของทรงกลมระยะทางของจุดใด ๆ M (x, y, z) จากตรงกลาง โอ้1 (x0 ; y0 ; z0 ) เท่ากับรัศมี Rคือ โอ้1 M =R. แต่ โอ้1 M = | | , ที่ไหน =(x- x0 ; y- y0 ; z- z0 ). ดังนั้น
นี่คือสมการที่ต้องการของทรงกลม มันเป็นที่พอใจโดยพิกัดใด ๆ ของจุดและไม่พอใจพิกัดของจุดที่ไม่ได้อยู่บนทรงกลมนี้
ถ้าศูนย์กลางของทรงกลม โอ้1 สอดคล้องกับต้นกำเนิดแล้วสมการของรูปทรงใช้รูปแบบ
ถ้าสมการของแบบฟอร์ม F(x; y; z) =0, แล้วพูดโดยทั่วไปจะกำหนดพื้นผิวบางอย่างในอวกาศ
นิพจน์ "พูดโดยทั่วไป" หมายความว่าในบางกรณีสมการ F(x; y; z) =0 สามารถกำหนดพื้นผิวไม่ได้ แต่เป็นจุดเส้นหรือทั้งหมดเพื่อกำหนดรูปทรงเรขาคณิต พวกเขากล่าวว่า "ผิวเสื่อม"
ดังนั้นสมการไม่พอใจกับค่าจริงใด ๆ x, y, z. สมการเป็นที่น่าพอใจโดยเฉพาะพิกัดของจุดที่วางอยู่บนแกน โอ้x (จากสมการดังต่อไปนี้: y=0, z=0 , และ x เป็นตัวเลขใดก็ได้)
ดังนั้นพื้นผิวในอวกาศจึงสามารถกำหนดรูปทรงเรขาคณิตและวิเคราะห์ได้ นี่หมายถึงการกำหนดสองงานหลัก:
พื้นผิวจะได้รับเป็นจุดทางเรขาคณิตของจุด หาสมการของผิวหน้านี้
ให้สมการ F(x; y; z)=0. ตรวจสอบรูปร่างของพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการนี้
สมการของเส้นในอวกาศ
เส้นในอวกาศสามารถถือได้ว่าเป็นเส้นแบ่งของสองพื้นผิว (ดูรูปที่ 1) หรือเป็นจุดรวมกันของพื้นผิวทั้งสอง
ถ้า F1 (x; y; z)=0 และ F2 (x; y; z)=0 - สมการของสองพื้นผิวที่กำหนดเส้น L จากนั้นพิกัดของจุดของเส้นนี้ตอบสนองระบบของสองสมกับสาม unknowns:
สมการของระบบนี้เรียกว่า สมการของเส้นในอวกาศ ตัวอย่างเช่นมีสมการของแกน โอ้x.
เส้นในอวกาศสามารถถือเป็นวิถีของการเคลื่อนที่ของจุด (ดูรูปที่ 2) ในกรณีนี้จะได้จากสมการเวกเตอร์
มะเดื่อ 1 รูป 2
หรือสมการพารา
การฉายภาพของเวคเตอร์บนแกนพิกัด
ตัวอย่างเช่นสมการ parametric สายสกรู มีแบบฟอร์ม
E ถ้าจุด M เคลื่อนไปมาตามรูปทรงกลมและกระบอกสูบหมุนรอบ ๆ แกนอย่างสม่ำเสมอจุด M อธิบายสกรู (ดูรูปที่ 3)